El muntanyenc

Ciència i medi

Dels fissurers de lleves als falcons pelegrins

Download PDF

Publicat el 13-01-2015

Text i figures: Joaquim Ortega Cerdà

Fotografies i figura 1: Ray Jardine, Pete Livesey i consell de redacció

En Joaquim Ortega Cerdà és aficionat a la muntanya i catedràtic d’anàlisi matemàtica a la Universitat de Barcelona

 

Presentació

Ray Jardine

Ray Jardine

Ray Jardine (1944) és un escalador de roca nord-americà que, amb Bill Preu, va ser el primer a escalar en lliure la Cara Oest de El Capitan de la vall de Yosemite, al maig 1979. És mundialment conegut per haver inventat i patentat un estri metàl·lic fet de parts mòbils que ficat en una fissura o forat, s’expandeix i assegura l’escalador, una alternativa al pitó tradicional col·locat a cops de martell. El friend, com el va anomenar, va revolucionar l’escalada en roca a finals dels anys setanta,  des de la vall de Yosemite (Califòrnia). Actualment són estris usats per tot els escaladors del món i es fabriquen en moltes marques i models.

El 1996 va publicar el llibre Pacific Crest Trail Hikers Handbook, una guia pels caminadors de la Cresta del Pacífic, després d’haver reflexionat i inventat noves maneres d’alleugerir el pes en caminades d’etapes i escurçar notablement els temps de durada i el patiment, buscant un caminar més plaent i contemplatiu. Definitivament, un pioner.

                                                                                            Consell de redacció El Muntanyenc

Ray Jardine escalant en lliure el sostre de la via Separate Reality (Yosemite)

Ray Jardine escalant en lliure el sostre de la via Separate Reality (Yosemite). Fotomuntatge del primer friend de la marca Wild Country inventat i patentat  per ell (Foto: Pete Livesey)

 

A finals dels anys 70 i començament dels 80 va haver-hi una revolució tècnica en el món de l’escalada. La introducció dels fissurers de lleves que va disparar el nivell de dificultat assolible en escalada lliure en roca i va desplaçar l’ús d’instruments més agressius amb la roca com ara els pitons. Els primers friends els va dissenyar i utilitzar Ray Jardine a Yosemite. Quin és el principi que fa els friends i els seus successors tan versàtils?

Figura 1

Figura 1: Esquema amb què Jardine acompanya la seva patent

 


La clau del seu èxit la podem trobar en la secció 8 de la seva patent on diu: “La superfície de la lleva té una forma de manera que, quan es situa en una fissura, la línia que passa pel punt de contacte entre la lleva i la paret i l’eix del fissurer forma un angle constant amb el fissurer sigui quina sigui l’obertura d’aquest”. Què vol dir Jardine amb això que l’angle és constant i no importa l’obertura del fissurer? Quina importància té això? Veiem un dibuix més esquemàtic per entendre-ho.

En la figura 2 tenim el fissurer amb dues obertures diferents. En totes dues l’angle α és el mateix.

Figura 2: Fissurer en dues obertures diferents


Veiem perquè és important aquesta quantitat. En l’anàlisi de les forces que actuen sobre el fissurer en el punt de contacte del fissurer amb la roca hi actuen dues forces. Una és la força del pes que penja del fissurer i que tiba cap a baix. L’altra és la força del fregament entre el fissurer i la roca. Una anàlisi senzilla mostra que la força de fregament té una magnitud de P c/ tan(π/2 − α) on P és el pes que penja del fissurer i c és el coeficient de fregament entre l’alumini i la roca (aproximadament c≃0.3). Òbviament volem que la força de fregament sigui més gran que la força del pes a fi que el fissurer no llisqui en la roca. És a dir, que volem que c >tan(π/2 − α). Això porta que hem de dissenyar un fissurer de manera que l’angle α del dibuix sigui més gran que 73 graus.Els friends actuals tenen uns angles propers a 76 graus.


La gràcia d’aquest càlcul és que és el mateix sigui quina sigui obertura del fissurer. Si l’angle α canviés segons l’obertura i en algun moment fos més petit de 73 graus, el fissurer lliscaria. Com aconseguir, doncs, donar forma a la lleva per tal de mantenir l’angle α constant a 76 graus?


La solució d’aquest problema la podem trobar en una làpida a la catedral de Basilea. És la tomba del matemàtic suís Jakob Bernoulli (1654–1705) que reproduïm en la figura 3.

La tomba de Bernoulli

Figura 3: La tomba de Bernoulli

Tomba de Bernoulli, detall

Tomba de Bernoulli, detall

En la part inferior de la làpida veiem una espiral amb la frase Eadem mutata resurgo que vol dir aproximadament “havent canviat ressorgeixo de nou igual”. Això ho va fer gravar la seva dona Judith Stupanus, i fa referència a una propietat d’una corba que va fascinar Jakob Bernoulli en el decurs de la seva recerca. Es tracta de la que ell anomenava “Spira Mirabilis” i que actualment es coneix com a espiral logarítmica o de vegades espiral de Bernoulli. Malauradament l’artesà que va fer la làpida no tenia gaire traça i va dibuixar una espiral arquimediana en lloc d’una Spira Mirabilis. L’aspecte que té de debò una espiral de Bernoulli és com en la figura 4.

 

XXXX La seva equació en coordenades polars és r = e on r denota la distància d’un punt de la corba a l’origen i θ denota l’angle respecte a l’eix de les abscisses. Té una propietat característica que és la següent: si prenem un punt qualsevol de la corba, l’angle que forma la recta que passa pel centre i aquest punt amb la recta tangent a la corba és sempre el mateix, independentment del punt triat. Per això també es coneix com a espiral equiangular i aquesta propietat es veu clarament en la figura 4. L’angle que forma el radi i la tangent depèn del paràmetre b de l’equació i no pas del punt de la corba. Ajustant aquest paràmetre aconseguim corbes que formen el perfil del fissurer. Poc s’ho imaginava Bernoulli que la seva corba favorita donaria forma a friends, aliens i camelots!


En Ray Jardine havia treballat en la indústria aeroespacial durant tres anys abans de dissenyar els friends i coneixia bé les propietats de l’espiral logarítmica. Potser en les seves escalades a Colorado als 70 va tenir l’oportunitat de veure en directe el vol del falcó pelegrí.


El falcó és un  rapinyaire caracteritzat per la velocitat extraordinària, superior als 300 km/h, que assoleix quan fa un picat en el moment de caçar una peça. Té una visió molt bona que li permet veure ocells de la mida d’un tord o d’una merla a 1500 m de distància. En la retina dels ulls del falcó hi ha una regió, anomenada fòvea òptica, on hi ha la màxima concentració de cons. És una regió on la resolució de les imatges que el falcó percep és màxima. La línia de visió en màxima resolució que enfoca directament a la fòvea és a uns 40 graus respecte del bec com veiem en l’esquema:

L'espiral logarítmica i la propietat equiangular


Figura 4: L’espiral logarítmica i la propietat equiangular

Això permet al falcó tenir un camp de visió molt ampli per veure possibles preses de molt lluny, però li planteja un problema a l’hora de caçar. Si fa un picat directe cap a la presa i mira cap endavant amb visió binocular no veu ni de bon tros un ocell petit a 1500 metres. Per veure-ho hauria de girar el cap a dreta o esquerra de manera que la línia de visió de la fòvea apuntés directament en la direcció de vol. Això no ho fa mai el falcó, perquè girar el cap fa que el coeficient de fregament aerodinàmic es multipliqui per dos i no pot assolir aleshores la velocitat fantàstica que requereix per caçar. Ha d’adoptar una postura molt aerodinàmica amb les ales retingudes, mirant d’oferir molt poca resistència, com els ciclistes de pista.


L’estratègia del falcó és diferent. El que fa és que durant una regió d’aproximació fa una trajectòria en corba mantenint el cap recte i tota l’estona la presa enfocada en la direcció de 40 graus respecte del vol, mantenint el tord en la zona de màxima visualització i només quan ja es troba a prop de la presa i ja la pot veure en línia recta corregeix la trajectòria i va directe cap a ella a gran velocitat com indiquem en la figura 6.

Cap del falcó amb la direcció de màxima resolució


Figura 5: Cap del falcó amb la direcció de màxima resolució

 

És a dir, la trajectòria del falcó pelegrí és una corba de manera que la tangent a un punt de la corba (la direcció de vol) i una recta entre el punt i la presa (la línia de visió del falcó) és d’angle fix. Aquesta és justament la propietat equiangular de la “Spira Mirabilis”.

Figura 6: Vol del falcó


Veiem, doncs, que el perfil de la lleva d’un fissurer i la trajectòria de vol d’un falcó pelegrí són la mateixa corba, aquella que va estudiar Bernoulli i Descartes 300 anys abans de la invenció del fissurer.


És un dels molts exemples d’invencions humanes, el fissurer, i fenòmens naturals, el vol del falcó, que tenen característiques comunes. El tòpic diu que els humans imitem la natura, però més aviat el que passa és que la natura i els humans exploten les simetries i l’estructura presents en unes equacions matemàtiques.

Els friends originals s'han millorat repetidament. Potser el canvi més significatiu ha set el  canve de  l barra rígida que porta les leves per cables d'acer

Els friends originals s’han millorat repetidament. Potser el canvi més significatiu ha set la substitució de la barra rígida que porta les leves per cables d’acer. També s’ha millorat l’ergonomia, facilitant la col·locació amb una sola ma

Referències

[1] Dave Custer. An Elastic Model of the Holding Power of Spring Loaded Camming Devices Used as Rock Climbing Anchors. (1998)

[2] Raymond D. Jardine, Patent USA 4.184.657, 22 de gener de 1980, dipositada el 30 de maig de 1978.

[3] John Middendorf Cams, a technical review (1985).

[4] V. Tucker, A. Tucker, K. Akers i J. Enderson, Curved flight paths and sideways vision in Peregrine falcons (Falco Peregrinus), The Journal of Experimental Biology 203 (2000), p 3755–3763.

a

2 Comments

  1. Oriol14/01/2015 at 17:59

    Gràcies per aquest magnífic article! Molt revelador!

  2. enric faura17/01/2015 at 11:26

    molt i molt interessant!

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà.

Subscriu-te a nostre emailing:

Email:



LA FOTOGRAFIA
  • Nit de vetlla al coll del Pisco
  • Instante capturado
  • Es bosc des desitjos que mai es varen complir
  • Aquelles velles sabates
  • Morir d’èxit
  • Moviment Continu
  • Monte Rosa
  • Un ocell anomenat món
  • Dona i pelegrins. Ajmer (Índia).
  • Verticalitat eterna.
  • Als Antípodes IV: Glenorchy
  • Als Antípodes III:  Parc Nacional de Springbrook
  • Als Antípodes II: Christchurch
  • Als antípodes I: Brisbane, Queen Street. Austràlia